Fondamenti della meccanica atomica
frequenza un'intensità , vi è una probabilità proporzionale a che l'elemento di superficie (supposto perfettamente assorbente) assorba un quanto nel
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(1) Per precisare il significato che si deve dare in meccanica ondulatoria alla parola « probabilità», si deve pensare di avere un gran numero N di
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probabilità» per analogia con l'ampiezza delle onde luminose: essa non ha significato fisico immediato, ma serve a determinare la densità di probabilità P
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È evidente poi che rappresenta la probabilità che la particella abbia l'energia e l'impulso , e la probabilità dell'energia e dell'impulso .
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energia ed i pulso indeterminati, e che quindi rappresenta la probabilità che la particella venga trovata nell'elemento di volume dS con l'energia e
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In questo caso, rappresenta la «densità di probabilità» nello spettro continuo dell'energia, vale a dire, è la probabilità che l'energia sia compresa
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) rappresenta la probabilità, algebricamente considerata (1) Cioè la differenza tra la probabilità dei passaggi nel verso positivo e quella dei passaggi nel
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(1) Cioè la differenza tra la probabilità dei passaggi nel verso positivo e quella dei passaggi nel verso negativo.
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determinata l'energia E della particella ma non il verso del suo impulso, cosicchè vi è una certa probabilità, proporzionale a , di trovarla in moto
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Il caso più interessante nella pratica è quello, più generale del precedente, in cui sono assegnate la densità di probabilità dell'ascissa della
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(1) La costante arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza.
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Le curve di probabilità iniziali sono dunque del tipo gaussiano e cioè:
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Calcoliamo ora la curva di probabilità P(x) della posizione al tempo t.
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Questa formula, confrontata con la (167) mostra che la curva di probabilità al tempo t è ancora una curva gaussiana, ma ha il massimo, invece che in
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Una particella incidente ha dunque, secondo la meccanica ondulatoria, una certa probabilità R di essere riflessa (con la stessa velocità) e una certa
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la probabilità che ha un fotone incidente di venire riflesso.
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rappresenta la frazione di particelle che vengono respinte indietro o riflesse, ovvero la probabilità che ha una particella di essere riflessa
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osservazione di posizione della particella, vi è una certa probabilità di trovarla anche a destra di O, probabilità che è sensibile fino ad una distanza da O
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probabilità di trovare ivi la particella).
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onde identiche, ma regressive, vi sarà in ogni istante una probabilità proporzionale a di trovare la particella con un impulso : ed una probabilità
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La densità di probabilità di posizione in un istante qualunque è
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La distribuzione della probabilità dell'impulso si ottiene osservando che la (179') si può scrivere
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La meccanica ondulatoria invece fornisce un risultato diverso: la particella incidente ha in ogni caso una certa probabilità di oltrepassare la
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Tra questi due limiti è sempre compreso : come si vede dall'ultima formula, esso non si annulla mai e quindi vi è sempre una certa probabilità che
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a poco proporzionale alla densità di probabilità di trovare ivi l'elettrone. Si può dire dunque che l'atomo non ha un contorno definito ma, a rigore
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di probabilità» dell'elettrone.
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(2) Il concetto di probabilità si deve intendere qui precisato nel modo spiegato nella nota al § 25 p. II.
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Evidentemente, se la f è funzione univalente come supporremo, e se le Gr sono discrete, le loro probabilità sono uguali a quelle delle corrispondenti
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, la probabilità di trovare il valore (v. § 29 p. II): cioè l'ampiezza di questa probabilità è proiezione del vettore sull'n-esimo asse principale
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la probabilità 1/2 di trovarla in A o in B, ma per l'insieme delle due, le probabilità dello specchietto precedente diventano rispettivamente 1/2, 0, 0
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il criterio di impostazione seguito al § 25, P. II), introdurre la probabilità che una osservazione simultanea di tutte le particelle al tempo t dia
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Se invece si esegue una osservazione della sola particella k-esima, senza occuparsi delle altre, la probabilità di trovarla nel volume elementare
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la probabilità del valore è . (Si noti che, essendo il vettore unitario si ha , come deve essere per poter attribuire alle il detto significato di
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un autovalore multiplo) l'ampiezza di probabilità che una misura di G dia il risultato Gr. Vale a dire, chiamando questa componente, cioè ponendo
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interpretare come densità di probabilità; cosicchè la probabilità di un valore compreso fra G' e dG' sarebbe
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in pieno accordo con il significato di come densità di probabilità.
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e quindi la probabilità di trovare per la x un valore compreso fra x' e x' + dx', a norma della (99),
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e la probabilità che la componente x dell'impulso sia compresa tra e a norma della (99),
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corrispondenti a una particella di dati y e z (caso unidimensionale, v. § 36, p. II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la
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i suoi autovalori danno i possibili risultati della misura di G, e le rispettive probabilità sono date da . Geometricamente, diremo che le
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principale nella direzione del vettore di stato all'istante . , che vi sia un solo valore con probabilità 1, e tutti gli altri abbiano probabilità 0; cioè
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Ciò significa che se, dopo l'istante , si fa una nuova determinazione dello stato, c'è una certa probabilità, data in prima approssimazione da , di
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L'ampiezza della probabilità di transizione dallo stato n allo stato , dopo un tempo di azione della perturbazione, ci è data dalla (230'), che
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e quindi il rapporto delle probabilità dei due risultati + 1 e —1 è:
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Se, in particolare, la direzione n fosse normale all'asse z, le due probabilità risulterebbero uguali.
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La densità di probabilità P è data dalla (257), che, introducendo la matrice e inoltre la matrice a una riga e N colonne
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Similmente si troverebbe che la probabilità dell'autovalore doppio è
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probabilità corrispondente all'autovalore è , e similmente quella corrispondente a è ; essendo i due autovalori coincidenti, la probabilità totale
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Più in generale: secondo il principio generale della meccanica quantistica (§ 22) la probabilità di un determinato risultato nella misura di
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Ora, il quadrato del modulo del coefficiente di , cioè , rappresenta la probabilità di trovare al tempo t il sistema nello stato , cioè la particella
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Accademia della crusca
